浅议初中数学中“设而不求”的解题技巧_英语教学论文

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摘 要: 本文介绍了初中数学中“设而不求”的解题技巧,具体有以下四种:比较化简中“设而不求”,分式方程中“设而不求”,几何求证中“设而不求”,问题转化中“设而不求”。


  关键词: 初中数学 设而不求 解题技巧
  
  “设而不求”是特殊解题方法之一,也属常规解题技巧.在解题中可以化繁为简,化难为易,下面归纳的几个方面是初中数学中常遇的,也是中学教学大纲要求掌握的.
  一、比较化简中“设而不求”
  在初中数学教学中,要培养学生根据具体题目选择解题方法的能力,对一些无法用常规方法解答的题目,就不能用常规方法反复尝试,更不能束手无策,而要考虑用特殊方法来解答.
  例1:比较368972/764797与368975/764804的大小.
  分析:因为是初中数学题,不可能用通分的方法解答,我们可以通过368975与368972相差3和764804与764797相差7来建立关系,寻找解题的突破口.
  解:设368972/764797=a/b,则368975/764804=(a+3)/(b+7),
  由a/b-(a+3)/(b+7)=(7a-3b)/b(b+7),
  因为7a-3b>0,b(b+7)>0,
  所以(7a-3b)/b(b+7)>0,
  即有a/b-(a+3)/(b+7)>0,
  从而有368972/764797>368975/764804.
  此题如果按照常规思路去思考,就很难得出正确的结果,考试时会将学生引入死胡同,耽误考试时间,影响其他题目的解答.
  例2:化简+
  解:令=a,=b(a>0,b>0),则a+b=8,ab=1,
  所以(a+b)=10,原式=a+b=.
  这种类型的题目很多.如:化简(1):+,化简(2):等,与例1不同的是这类题目有个非常明显的特点是:代数式中有两数的平方和与两数的积都是一个简单的实数.
  二、分式方程中“设而不求”
  设而不求在解较复杂的分式方程应用较多,解此类题目,要引导学生在许多不同之中寻找相同,然后再用一个字母代替一个代数式,从而起到化简解题步骤,降低解题难度的作用.
  例3:解方程++=0
  分析:仔细观察,便会发现,分式的分母中均有x+6,如将其用一个字母替换,题目便会迎刃而解.
  解:可设x+6=y,原方程变形为++=0.
  去分母并整理得y-49x=0,所以y+7x=0或y-7x=0,
  即x+7x+6=0或x-7x+6=0,得x=-1,x=-6,x=1,x=6.
  经检验x、x、x、x都是原方程的解.
  例4:解方程:+=+
  分析:显然与和与互为倒数关系,因此有如下解法:
  设=u,=v,
  原方程变为u+v=+,
  去分母整理后得(u+v)(uv-1)=0,有u+v=0或uv=1,
  即+=0或×=1,
  解得x=,x=0,x=5.
  经检验x、x、x都是方程的解.
  例4较例3更容易发现题目的规律,学生要掌握解题技巧,必须要有能准确地发现解题规律的能力,必须从对题目整体感知训练起步.要求学生一见题目,就能判断出是否可用特殊方法解答.
  三、几何求证中“设而不求”
  几何证明时,有时也可用引进代数知识,但用代数知识解答几何问题,就能使原来的证明题变得简单,如果运用这一技巧就能达到降低题目难度的效果,使题目顺利得到解答,学生容易接受.
  例5:如图,如果在一直线上顺次有四个点A、B、C、D,求证:AD×BC+AB×CD=AC×BD.
   A B C D
  ?摇 ?摇.?摇 ?摇.?摇 ?摇.?摇 ?摇.?摇?摇
  证明:设AB=a,BC=b,CD=c,
  则AD×BC+AB×CD=(a+b+c)×b+ac
  =ab+b+bc+ac=b(a+b)+c(a+b)
  =(a+b)(b+c)=AC×BD.
  这里所设线段的长度在计算中很好地起了桥梁作用.如果不用此方法,或许问题也能解决,但会付出较大的精力.
  在几何题目中,有一类是纯计算的,如求三角形的面积.解题中我们会发现要单独分别求出底和高,往往比较难,但求出底与高的积会很容易,而知道底与高的积,三角形面积也就求出来了,直接代入公式,便是一条可行的捷径.
  例6:直角三角形斜边上的中线长为1,周长为2+,求其面积.
  解:斜边上中线的长为1,故斜边长为2,又三角形的周长为2+,则两直角边的和为,设两直角边为a、b,则有a+b=4①,a+b=②.
  ②-①得2ab=2,所以ab=1,s=ab=.
  题目解答后,教师要学生关注,a+b;a+b;ab是一组有紧密联系的关系式,掌握它们的联系规则,也有利于同一类型题目的解答.
  四、问题转化中“设而不求”
  问题转化,就是寻找出知识的联系点,把较复杂的问题化为简单易解的问题,解这样题目的关键是准确地找到用字母代替什么样的代数式.
  例7:已知方程x-11x+(30+R)=0的两根比5大,求实数R的范围.
  解:设y=x-5,则x=y+5,原方程转化为y-y+R=0.
  由x>5得y>0,即方程y-y+R=0有两正根.
  故由:(-1)-4R≥0和R>0,解得0<R≤1/4.
  例8:m为实数,方程5x-12x+4+m=0,若有一根大于2,另一根小于2,求m的取值范围.解法与例5相似.
  比较例5和例6可用看出,x系数是否是1对解答题目没有影响,主要看其根的情况.根大于几,就将x设为y加几,然后看是否能将原方程转化为最简单的一元二次方程.
  数学的解题方法与技巧,是在数学训练中逐步形成的,要掌握解题技巧就要在多做典型题目的基础上,不断总结与发现,随着数学教学的研究的深入,教师要深入研究数学教材内容,分析数学不同知识点之间的内在联系,掌握解题的基本功.提高解题技巧,有助于教师业务水平和教学能力的提高,更有助于人才的培养和教学质量的提高.
  

  
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